> Kann diese Sigma-Algebra stimmen?
Ja, die Menge {∅,Ω,{0},{1,2,3}} ist eine Sigma-Algebra auf Ω.
> ... wieso dort steht, dass man "alle" Sigma-Algebren bestimmen soll.
Weil der Professor sich gedacht hat, es wäre eine gute Idee, dass ihr "alle" Sigma-Algebren bestimmt, die {0} enthalten.
Die Potenzmenge von Ω ist immer eine Sigma-Algebren über Ω. Sie stimmt aber nicht mit der von dir konstruierten Sigma-Algebra überein. Es gibt also anscheinend mehrere Sigma-Algebren zu der gleichen Grundmenge.
Für jede Sigma-Algebra Ψ über Ω gilt ∅∈Ψ und Ω∈Ψ. Laut Aufgabenstellung soll auch {0}∈Ψ sein. Untersuche doch mal, zu welchen Sigma-Algebren du kommst,
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wenn auch {1}∈Ψ sein soll,
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wenn auch {1,2}∈Ψ sein soll,
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etc.