Beantwortet: Newton-Verfahren f(x)= x^3+x-5

Hallo,

f(x)= x⁴ - 3x - 3 = 0 , f '(x) = 4x³ - 3

mit einem Startwert x₁ (je näher an einer Nullstelle, desto besser) berechnet man nach der Formel   x_neu = x_alt  -  f(x_alt) / f '(x_alt)   immer genauere Werte für die Nullstelle:

Wegen f(-1) = 1 > 0   und f(0) = -3 < 0   muss im Intervall [-1 ; 0  ] nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle liegen. x₁ = -1 o ein geeigneter Starwert:

x_{neu  =  -1  -  f(-1) / f '(-1)   ≈}   -0.8571428571  ( → x_alt)

x_{neu =} -0.8571428571  -  f(-0.8571428571) / f '(-0.8571428571 )   usw.

Zur Kontrolle: die reellen Nullstellen von f sind  

x =  - 0.8366637550   ∨   x = 1.684615705

Ein guter Starwert für die zweite Nullstelle ist natürlich x=2

Durch die vorherige Bestimmung der Extrema (oder einen Plotter!) kann man sich oft ein Bild machen, wo gute Startwerte eventuell liegen.

Infos findest du hier:

http://www.numerik.mathematik.uni-mainz.de/didaktikseminar/Gruppe4/

Gruß Wolfgang