Hi,
Du hattest die Idee mit der dritten binomischen Formel. Die Idee ist gut. Immer bei Aufgaben solcher Gestalt. Allerdings in modifizierter Form. \(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)
Ist etwas Schreibarbeit, deswegen arbeite ich nicht ganz 100% sauber. Also bitte aufpassen ;).
$$\lim \sqrt[3]{n^2+3n^{\frac43}} - n^{\frac23} $$
Nun wird mit "\(a^2+ab+b^2\)" erweitert. Dabei ist \(a = (n^2+3n^{\frac43})^{\frac13}\) und \(b =n^{\frac23}\)
$$=\lim \frac{n^2+3n^{\frac43}-n^{2}}{(n^2+3n^{\frac43})^{\frac23} + (n^2+3n^{\frac43})^{\frac13}\cdot n^{\frac23} + n^{\frac43}}$$
Nun werde ich etwas rigoros und entferne alles unwichtige im Nenner. Also Potenzen von geringem Grade. Der Zähler wird zusammgefasst:
$$=\lim \frac{3n^{\frac43}}{(n^2)^{\frac23} + (n^2)^{\frac13}\cdot n^{\frac23}+n^{\frac43}}$$
$$=\lim \frac{3n^{\frac43}}{n^{\frac43} + n^{\frac43}+n^{\frac43}}$$
$$=\lim \frac{3n^{\frac43}}{3n^{\frac43}} = 1$$
Alles klar? :)
Grüße