u'(t)=-k*u(t)+k*a = k * (a - u(t))
Die Abkühlung ist proportional zur Temperaturdifferenz zwischen dem Getränk und der Umgebungstemperatur.
D.h. je größer diese Differenz ist, desto größer ist auch die Abkühlung.
Mischt man also zuerst kaltes Wasser dazu sinkt die Temeraturdifferenz und in den 10 Minuten haben wir keine so starke Abkühlung, als wenn man noch nichts hinzukippt.
D.h. kippen wir zunächst nichts dazu ist die Abkühung in den 10 Minuten größer und das Getränk wird kälter sein als wenn ich zunächst etwas dazu mische.
Geht es jetzt nur darum, dass du gerne die Funktion u(t) haben möchtest ? Das erfüllt die Funktion
u(t) = a + c * e^(-k*t)
u'(t) = - c·k·e^(- k·t) = k * (a - (a + c * e^(-k*t))) = k * (a - u(t))