a)
Die Flugparabel hat die Gleichung f(x) = ax2 + bx + c -> f '(x) = 2ax + b
Wir legen das Koordinatensystem so, dass der Abschusspunkt im Nullpunkt (Ursprung) liegt.
Dann gilt:
f(0) = 0 -> c = 0, also f(x) = ax2 + bx
f '(0) = 1 weil die Tangente im Ursprung die Steigung tan(45°) = 1 hat.
-> b = 1, also f(x) = ax2 + x
f(15) = 3,75 -> a • 152 + 15 = 3,75 -> a = - 0,05 = - 1/20
-> f(x) = -1/20 • x2 + x -> f '(x) = -1/10 • x + 1
b)
Für den x-Wert des höchsten Punktes [ Scheitelpunkt S(xs|ys) ] gilt wegen der dort waagrechten Tangente
f ' (xs) = 0 -> - 1/10 • xs + 1 = 0 -> xs = 10
ys = f(10) = - 1/20 • 100 + 10 = 5 -> S(10|5)
Der Feuerball erreicht die Maximalhöhe 5. Die Kanone kann also im Saal abgefeuert werden.