Hallo,
1) Für die Existenz musst du nur die konkrete Abbildung angeben. Denke an Darstellungsmatrix.
2) Für die Eindeutigkeit: Nehme an es gäbe ein Abbildung \(w\), die die obige Eigenschaft erfüllt und zeige mit der Linearität beider Abbildungen, dass sie identisch sind. Nutze dazu, dass jeder Vektor \(a \in V\) als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden kann.
Gruß