Du waehlst \(\epsilon=|x|/2\) und hast dann wegen \(x_n\to x\) $$|x|-|x_n|\le|x-x_n|<|x|/2,$$ also $$|x_n|>|x|/2>0$$ fuer alle \(n\ge n_0\). Fuer $$\lim1/x_n=1/x$$ rechnest Du wieder mit dieser Abschaetzung die Definition nach.
Das steht nebenbei auch in jedem Analysis-I-Buch so drin. Kauf Dir doch eines.