Beantwortet: zeigen, dass eine Gruppe genau dann abelsch ist, wenn alle Äquivalenzklassen einelementrig sind

G abelsch   und     a~b  

⇒    es existiert ein g Element G: a=g^-1bg   und wegen "abelsch"

⇒              a=g^-1gb   

 also  a = b

Also : Wenn zwei El. in der gleichen Klasse sind, sind sie gleich.

Andererseits sind die Klassen nicht leer, da jedes El. in einer Klasse ist,

also sind die Klassen einelementig.

umgekehrt:    alle Äquivalenzklassen bzgl. ~ sind einelementig .

Da G eine Grupe ist gilt, wenn etwa e das neutrale El ist,
 für alle b aus G
e * b = b * e
außerdem für jedes a aus G  a^-1*a = a * a^-1 = e
also   (a^-1*a)*b = b*(a * a^-1)
da * assoziativ ist
      a^-1*(a*b) = (b*a) * a^-1  also von links mit amultipliziert
           a*b =   a *(b*a) * a^-1 
Also gilt a*b ~ b*a  und da die zugehörige Klasse
einelemnetig ist   a*b = b*a    also G abelsch.