Hallo,
betrachte \(a_n = (1-(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}) \).
ist \(n\) entweder von der Form \(n=4k+1\) oder \(n=4k+2\) (gleichzeitig geht nicht) für \(k \in \mathbb{N}_0\), dann ist \(a_n = 2\). Ansonsten ist \(a_n=0\). Somit ist
$$ \sum_{n=0}^{\infty} a_n \left(\frac{1}{2} \right)^n = \sum_{k=0}^{\infty}2 \cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{4k+1} + \sum_{k=0}^{\infty}2 \cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{4k+2} = \frac{8}{5}$$
Gruß