Hallo,
die Formel dazu herzuleiten ist in der Tat nicht sehr easy. Eine Herleitung ist der folgende Grundgedanke:
Die Anzahl der Möglichkeiten \(c\) mit einem \(s\)-seitigen Würfel, nach \(n\) Würfen die Augensumme \(p \in \{n, .., sn \}\) zu erhalten entspricht dem Koeffizienten von \(x^p\) im Polynom:
$$ f(x) = (x + x^2 + ... + x^s)^n $$
Für \( d= \lfloor \frac{p-n}{s} \rfloor\) ergibt sich die Formel:
$$ c = \sum_{k=0}^d (-1)^k \binom{n}{k} \binom{p-sk-1}{n-1} $$
Mit steigendem \(n\) wird es also immer komplexer \(c\) zu berechnen.
Eine ausführliche Herleitung mit weiteren Analysen findest du hier:
http://mathworld.wolfram.com/Dice.html
Gruß