Zeige (U1 ∩ U2) +(U1 ∩ U3) ⊆ U1 ∩ (U2+U3).
Sei x aus (U1 ∩ U2) +(U1 ∩ U3)
dann gibt es a aus U1 ∩ U2 und b aus U1 ∩ U3
mit x = a +b
Da aber a und b beide aus U1 sind, ist a+b auch in U1, #
da U1 ein Unterraum ist.
Da a aus U2 und b aus U3 ist a+b aus U2 + U3. ##
# und ## zusammen bedeuten aber gerade
a+b aus U1 ∩ (U2+U3) und wegen x = a+b also
x aus U1 ∩ (U2+U3). q.e.d.