Direkt mit der Definition von \(\pi\), dass also \(\pi/2\) die erste positive Nullstelle der durch die Potenzreihe erklaerten Kosinus-Funktion ist, geht es so:
Fuer \(0<x\le3\) gilt (vgl. Abbruchfehlerabschaetzung im Leibniz-Kriterium fuer alternierende Reihen) $$\cos x>1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}=:C_6(x).$$ Die Gleichung \(C_6(x)=0\) kann man durch die Substitution \(z=x^2\) auf eine dritten Grades zurueckfuehren und mit Cardano loesen. Als einzige positive Nullstelle erhaelt man \(\xi\approx1,5699\), also \(\pi>2\xi>3\).
(Von den Taylorpolynomen mit kleinerem Grad kommt nur \(C_2(x)\) als untere Schranke infrage. Die Anschaetzung damit ist aber zu schlecht.)