Beantwortet: Zeigen Sie, dass Folgendes für Projektionen gilt. Bsp. (iii) 1 - P :=1_(V) - P ist eine Projektion.

zu (i) und (ii) siehe

http://www.mathelounge.de/299279/auf-projektion-prufen

(iii) sei v aus V dann gilt  (1-P)(v) = v - P(v)

und  (1-P)^2(v) =  (v - P(v)) - P(v - P(v))

                        =   (v - P(v)) - (P(v) - P(P(v)))    wegen Linearität von P

=   (v - P(v)) - (P(v) - P(v))     wegen Projektionseigenschaft

= v - P(v)    

also (1-P)^2(v) = (1-P)(v)  für alle v asu V,

also ist wegen (1-P)^2 = (1-P)

die Abb. eine Projektion.

(iv) einfach nachrechnen :

Für alle x,y ist  π^2  ( x;y)   =  π (x,y)  .