Beantwortet: Warum sind zwei Vektoren genau dann orthogonal, wenn ||x+λy||>= ||x|| ∀λ ∈ R gilt?

Hallo,

Beweisrichtung 1: falls die beiden Vektoren orthogonal sind, gilt....

Wegen

$$ \vec{x} \cdot \vec{y} = 0 $$

mit

$$ \vert \vert \vec{a} \vert \vert = \sqrt{a_1^2 +a_2^2+...+a_n^2}= \sqrt{\vec{a}\cdot \vec{a}} $$

und

$$ \vec{a} \cdot ( \vec{b} + \vec{c} )  = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} $$

folgt für diesen Fall

$$ \begin{eqnarray}

\vert \vert \vec{x} + \lambda \vec{y} \vert \vert &=& \sqrt{ (\vec{x} + \lambda \vec{y})\cdot ( \vec{x} + \lambda \vec{y})}  \\

&=& \sqrt{\underbrace{\vec{x} \cdot \vec{x}}_{\geq 0} + 2\lambda \cdot \underbrace{\vec{x} \cdot  \vec{y}}_{=0}+ \underbrace{\vec{y} \cdot \vec{y}}_{\geq 0}     } &\geq & \sqrt{\vec{x} \cdot \vec{x}}= \vert \vert \vec{x} \vert \vert \\
\forall \lambda \in \mathbb{R}

\end{eqnarray}$$

Beweisrichtung 2: Falls gilt ..., dann sind die beiden Vektoren orthogonal.

Beweis durch Gegenbeweis: Falls gilt..., sind die beiden Vektoren nicht orthogonal.

Mit
$$ \vec{x} \cdot \vec{y} \neq 0 $$und
$$
\vert \vert \vec{x} + \lambda \vec{y} \vert \vert \geq = \vert \vert \vec{x} \vert \vert \\
$$
folgt

$$ \vert \vert \vec{x} + \lambda \vec{y} \vert \vert=\sqrt{\underbrace{\vec{x} \cdot \vec{x}}_{\geq 0} + 2\lambda \cdot \underbrace{\vec{x} \cdot  \vec{y}}_{ \neq 0}+ \underbrace{\vec{y} \cdot \vec{y}}_{\geq 0}     } \geq  \sqrt{\vec{x} \cdot \vec{x}} $$
Wähle
$$ \lambda = - \frac{\vec{y} \cdot  \vec{y}}{\vec{x} \cdot  \vec{y}} $$
Daraus folgt
$$ \begin{eqnarray}
 \vert \vert \vec{x} + \lambda \vec{y} \vert \vert&=&\sqrt{\vec{x} \cdot \vec{x} + 2 \cdot \left( - \frac{\vec{y} \cdot  \vec{y}}{\vec{x} \cdot  \vec{y}} \right) \cdot \vec{x} \cdot  \vec{y}+ \vec{y} \cdot \vec{y}     } \\
&=& \sqrt{\vec{x} \cdot \vec{x} - 2 \cdot \vec{y} \cdot  \vec{y}+ \vec{y} \cdot \vec{y}     } \\
&=& \sqrt{\underbrace{\vec{x} \cdot \vec{x}}_{\geq 0} - \underbrace{\vec{y} \cdot \vec{y}}_{\geq 0}     }\ngeq  \sqrt{\vec{x} \cdot \vec{x}} = \vert \vert \vec{x} \vert \vert \\
\end{eqnarray} $$
Das ist ein Widerspruch, ausser es gilt

$$ \vec{y} = \vec{0} $$
Der Fall ist aber trivial.

Gruß