Beantwortet: Integral. Fläche zwischen Parabel und ihren Tangenten in den Nullstellen.

f(x) = 3x -x² = x • (3 - x) -> Nullstellen x = 0 und x = 3 in den Punkten P(0|0) und Q(3|0)

f ' (x) = 3 - 2x

Die Tangenten in den Punkten P und Q haben die Steigungen m_P = f '(0) = 3 und m_Q = f '(3) = -3 

Mit der Punkt-Steigungs-Formel kann man die Gleichung einer Geraden ausrechen, die die Steigung m hat und durch den Punkt (x₁|y₁) geht:

 y = m • (x - x₁) + y₁ 

für unsere Tangenten heißt das:

t₁:  y = 3•(x-0)+0 -> y = 3x

t₂:  y = -3•(x-3)+0 ->  y = -3x + 9

Aus Symmetriegründen schneiden sich die Tangenten bei x = 1,5 und sie verlaufen oberhalb der Parabel.

Daher ergibt sich für die gesuchte Fläche A = 2 • ∫₀^1,5 (3x - (3x-x²) dx = 2 • ∫₀^1,5 x² dx

= 2 • [ 1/3 x³ ]₀^1,5 = 2 • ( 1,125 - 0) = 2,25