Beantwortet: gaus algorithmus mit variable rechnen

a·x + y + 2·z = 1

x - y + z = 0

2·x - y + a·z = -1  gibt die Matrix

a      1       2   |  1        
1     -1      1   | 0      +1. Zeile
2     -1      a  |  -1     + 1. Zeile

a           1       2   |  1        
a+1       0       3   |  1      
a+2       0     a+2  |  0   

Hier siehst du schon: Für a=-2 sagt die letzte Zeile

nur 0*x + 0*y + 0*z = 0 also für beliebige x,y, z  erfüllt.

wählte man etwa für z einen Wert, kann man mit der 2. Zeile x ausrechnen

und dann mit der ersten auch y.  Also gibt es in diesem Fall

(weil man z beliebig wählen kann) unendlich viele Lösungen.

Sei nun a ungleich 2:

dann formt man weiter um mit

3. Zeile   * - 3   und + 2. Zeile * (a+2)
und hat dann

a               1       2       |  1        
a+1           0       3      |  1      
a^2 -4        0        0    |  a+2

wenn nun  a^2 -4 = 0 ist heißt das   0 * x = a+2
Nun ist aber    a^2 -4 = 0 nur für a=2 oder a=-2
Den Fall  a= - 2 hatten wir schon
und für a= +2 steht in der letzten Zeile  0*x = 4
also gibt es dann KEINE Lösung.

Bei allen anderen Fällen liefert die 3. Zeile ein
Ergebnis für x und und die anderen beiden Zeilen dann etwas
für y und z. Also ist es dann eindeutig lösbar.

Falls du das Rangkriterium kennst:
Rang ( A ) = Rang ( A _erw )   etc.  kannst du noch einfacher
argumentieren.