Hallo,
du solltest unbedingt auf deine Notation achten, dass was du bei (i) geschrieben hast sieht nicht gut aus (und ist teilweise sogar einfach nur falsch).
Sei \( \varepsilon > 0 \).
Für \(n \geq 2\) suchen wir ein \(n\) mit : \( |a_n -1 | = \left | \frac{9}{n^2-4} \right | = \frac{9}{n^2-4} < \varepsilon.\)
Das wird umgeformt zu \(\sqrt{\frac{9}{\varepsilon}+4} < n \). Nach dem archim. Axiom ex. ein \(n_0\), dass die Ungleichung erfüllt und somit gilt für alle \(n \geq n_0\) das \(|a_n-1| < \varepsilon\). Da \(\varepsilon\) beliebig gewählt wurde konvergiert die Folge also gegen 1.
Hinweise zu den restlichen Aufgaben:
b) Verwende das archimedische Axiom: \( \forall a \in \mathbb{R} \ \exists n \in \mathbb{N}: n \geq a \).
c) Verwende die 2. Dreiecksungleichung: \( ||a|-|b|| < |a-b| \).
d) Schreibe \(|d_n e_n - de | = |d_n e_n - d_ne + d_ne -de | \), verwende die 1. Dreiecksungleichung und nutze die Definition sowie geeignete Abschätzungen. Die Aufgabe ist ein wenig anspruchsvoller als die anderen.
Gruß