Hallo,
durch einfaches Einsetzen zeigt man, dass für jede Ebene mit einer Gleichung der Form ax + by + cz = 0 gilt:
- e enthält den Nullvektor
- e enthält zu \(\vec{x}\) ∈ e auch das inverse Element \(\vec{-x}\)
e ist außerdem abgeschlossen bzgl. der Addtion \(\vec{x}\)+\(\vec{y}\) und der S-Multiplikation α•\(\vec{x}\) mit reellen Zahlen:
a•(x1 + y1) + b•(x2 + y2) + c•(x3 + y3) = ax1 + bx2 + cx3 + ay1 + by2 + cy3 = 0
a• (αx1) + b•(αx2) + c•(αx3) = α • (ax1 + bx2 + cx3) = 0
Alle Gleichungen der Vektorraumaxiome gelten in der Untermenge e sowieso.
→ e ist ein Untervektorraum.
b)
Jede Lösungsmenge eines solchen LGS stellt {\(\vec{0}\)} , eine Gerade durch den Ursprung (Nachweis VR analog zu oben), eine Ebene durch den Ursprung oder ℝ3 dar.
→ alle Lösungsmengen sind Untervektorräume von ℝ3
c) Für den Begriff "Zahlenmauer" bräuchte man eine genaue Definition.
Gruß Wolfgang