z.B. Addition ist assoziativ:
Da musst du nur zeigen ( f+g)+h = f + (g+h)
Es muss also für alle p(x) aus IR[x] gelten
(( f+g)+h )(p(x)) = (f + (g+h))(p(x))
nach Def. von + ist
(( f+g)+h )(p(x)) = ( f+g)(p(x)) +h (p(x)) wieder nach Def. von +
= ( f(p(x)+g(p(x) ) +h (p(x)) wegen der Ass. in IR[x]
= f(p(x)+ ( g(p(x) ) +h (p(x)) ) und jetzt wieder 2x die Def. rückwärts anwenden.
z.B. Distributiv, da musst du zeigen f o ( g + h ) = f o g + f o h
also für alle p(x) : ( f o ( g + h )) (p(x)) = ( f o g + f o h) (p(x))
laso erst mal Def von o ; denn bei ( f o ( g + h )) (p(x)) ist das ja die erste Operation
( f o ( g + h )) (p(x)) (nach Def.)
= f ( ( g + h ) (p(x)) ) dann def. von +
= f ( ( g(p(x)) + h (p(x)) ) wegen Linearität von f
= f (g (p(x)) ) + f ( h (p(x)) ) nach Def von o rückwärts
= (f og) (p(x)) + (f o h) (p(x)) und def von + rückwärts
= ( f o g + f o h) (p(x))
etc. 1-Element ist wohl die identische Abb. id mit id(p(x)) = p(x) f. alle p(x).